

Newton Raphson

Newton-Raphson

Dalam analisis numerik, metode Newton / Newton-Raphson yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Rapshon, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik dimana fungsi f(x) mempunyai turunan.

Metode Newton-Raphson dapat diturunkan berdasarkan interpretasi geometrik (sebuah metode alternatif yang didasarkan pada Deret Taylor ).

Prosedur Metode Newton :

menentukan x_0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung titik f(x_0) . Hal ini berakibat garis I memotong sumbu x di titik x_1 Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x_1 dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x_2 , x_3 , ... , x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

persamaan garis I : y - y_0 = m(x - x_0)

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

x_1 perpotongan garis I dengan sumbu - x $$ 0 - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$

y = 0 dan x = x_1 maka koordinat titik (x_1,0)

$$- \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = (x_1 - x_0)$$

sehingga di dapat sebuah rumus : $$ f'(x_n)=\frac{f(x_n)-0}{f'(x_n)-{x_{n+1}}} $$ atau dapat diatur kembali menjadi :

$$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} , x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}, ... , x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$

---

Implementasi Pemrograman

Implementasi Newton-Raphson untuk fungsi f(x)= e^x - 4x

maka kita membuat turunan untuk fungsi tersebut yaitu f'(x) = e^x - 4

import math
e = 2.71828

def fungsi(x):
    x = float((e**x) - (4*x))
    return x

def fungsiturunan(x):
    x = float((e**x) - (4))
    return x

x = float(input('Masukkan nilai awal = '))
error = float(input('Masukkan nilai error = '))
perulangan = int(input('Masukkan maksimal pengulangan = '))

iterasi = 0
selisih = error+1
while iterasi <= perulangan  and selisih>error :
    iterasi += 1
    f_2 = x - (fungsi(x)/fungsiturunan(x))
    selisih = math.fabs(f_2 - x)
    x = f_2
    print("Iterasi ke = ",iterasi,", x = ",f_2, ", f(",f_2,") = ",fungsi(f_2),", selisih = ",error)
    if iterasi <= perulangan:
        print("Perulangan Mencapai Batas Maksimal dengan hasil = ", f_2)
    else :
        print("Toleransi tidak terpenuhi")

Dengan Output sebagai berikut :

Masukkan nilai awal = 0
Masukkan nilai error = 0.0001
Masukkan maksimal pengulangan = 20
Iterasi ke =  1 , x =  0.3333333333333333 , f( 0.3333333333333333 ) =  0.06227877883196098 , selisih =  0.0001
Perulangan Mencapai Batas Maksimal dengan hasil =  0.3333333333333333
Iterasi ke =  2 , x =  0.35724635301940616 , f( 0.35724635301940616 ) =  0.0004022049593612742 , selisih =  0.0001
Perulangan Mencapai Batas Maksimal dengan hasil =  0.35724635301940616
Iterasi ke =  3 , x =  0.35740281572145605 , f( 0.35740281572145605 ) =  1.734656973617632e-08 , selisih =  0.0001
Perulangan Mencapai Batas Maksimal dengan hasil =  0.35740281572145605
Iterasi ke =  4 , x =  0.3574028224700733 , f( 0.3574028224700733 ) =  -6.439293542825908e-15 , selisih =  0.0001
Perulangan Mencapai Batas Maksimal dengan hasil =  0.3574028224700733

Penjelasan :

1. Importh Library math
2. Membuat sebuah inputan untuk X , Error / Epsilon , serta Maksimal perulangan untuk stopping condition
3. lalu deklarasikan iterasi = 0 untuk perulangan yang ke 0 nantinya dan akan ditambah setiap kali perulangan
4. deklarasikan selisih untuk x_b - x_0 untuk perbandingan
5. lakukan perulangan dengan kondisi iterasi kurang dari sama dengan inputan maksimal iterasi dan selisih lebih dari error / epsilon
6. hitung x_b dengan rumus yang sudah kita dapatkan sebelumnya
7. lalu lakukan perbandingan jika mencapai nilai True maka toleransi tidak terpenuhi namun perulangan sudah mencapai batas
8. jika pengecekan selisih > error bernilai bernilai True maka toleransi akan terpenuhi dengan nilai error serta fungsi x pada iterasi ke n

---